（1）(x, y): = {

{

x}, {

x, y}}.(x^’, y^’): = {

{

x^’}, {

x^’, y^’}}.

先证明

x = x^’, y = y^’时，(x,y)=(

x^’, y^’).这是很容易的.其次要证明，当

{

{

x}, {

x, y}} = {

{

x^’}, {

x^’, y^’}}时，可以推出

x = x^’, y = y^’.分两种情况讨论，

 

(1)

x = y.此时

{

{

x}, {

x, y}} = {

{

x}}.

{

{

x}} = {

{

x^’}, {

x^’, y^’}}.则

{

x^’} = {

x^’, y^’}.则

x^’ = y^’.则

{

{

x}} = {

{

x^’}}.则{x}={

x^’}则

x = x^’.成立.

 

(2)

x ≠ y.此时若{x}={

x^’},则{x,y}={

x^’, y^’}.则x=

x^’.y=

y^’.若{x}={

x^’, y^’}则

x^’ = y^’ = x.{x,y}=

{

x^’}，则x=y=

x^’矛盾.

 

 

 

(2)(x,y):={x,{x,y}}.

(x^’, y^’): = {

x^’, {

x^’, y^’}}.

先证明x=

x^’, y = y^’时，(x,y)=(

x^’, y^’).这也是很容易的.其次要证明，当

{

x, {

x, y}} = {

x^’, {

x^’, y^’}}时，可以推出

x = x^’, y = y^’.

 

若x=

x^’.则{x,y}

 ≠ {

x^’}否则x={x,y}.x集是一个集合，该集合含有自身，与正则公理的推论矛盾.可见

{

x, y} = {

x^’, y^’}.因为

x = x^’所以

y = y^’.成立.

 

若

x ≠ x^’则

x = {

x^’, y^’}.同样易证此时{x,y}

 ≠ {

x^’, y^’}.则{x,y}=

x^’.则x={

{x,y},

y^’}.易证

x ≠ y^’.否则x={

x^’, x}.一个集合含有本身是不允许的.可见，x必须等于

x^’.完毕